segunda-feira, 22 de outubro de 2012

ESTUDO SOBRE ÂNGULOS E SUAS OPERAÇÕES 6° ANO

ESTUDO SOBRE ÂNGULOS E SUAS OPERAÇÕES 6° ANO


        O grau (símbolo: °), é uma medida dos ângulos planos correspondendo a 1/360 de uma circunferência. Cada grau pode ser dividido em minutos, que equivalem a 1/60 do grau e segundos, equivalente a 1/60 dos minutos.
História
        O grau é originário da civilização babilônica. Para estabelecerem o grau, os babilônios dividiram o círculo em 360 partes iguais, pois acreditavam que essa era a quantidade de dias referente ao período de um ano e porque seu sistema de numeração era de base sessenta. Outra herança dos babilônios é divisão da hora e dos minutos em segundos:
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
Medida
Circunferência Completa
Graus (°)
Minutos (')
Segundos ('')
Circunferência
1
1/360
1/21600
1/1296000
Grau
360
1
1/60
1/3600
Minuto
21600
60
1
1/60
Segundo
1296000
21600
60
1
Como cada um das 360 divisões do círculo corresponde a um grau, temos:
1 volta = 360 graus = 360°
1/2 volta = 180 graus = 180°(ângulo raso)
1/4 volta = 90 graus = 90°(ângulo reto)

       Outra motivação para escolher o número 360 pode ser porque ele tem 24 divisores. Além disso, 360 é divisível pelos números de 1 a 10, com exceção de 7. Esta propriedade tem diversas aplicações práticas, tal como dividir o planeta em 24 fusos horários, cada um com 15° de longitude, correlacionando com a convenção estabelecida do dia de 24 horas.

Operações com Ângulos

Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de Ângulos.



Denominamos por ângulo a abertura formada por duas semirretas que possuem a mesma origem.
A unidade usual de ângulo é o grau (representado por º), por exemplo:

25º: lê-se vinte e cinco graus.
32º: lê-se trinta e dois graus.
120º: lê-se cento e vinte graus.
90º: lê-se noventa graus.


O grau possui dois submúltiplos: o minuto (representado por ’) e o segundo (representado por ”). Observe:

32’: lê-se trinta e dois minutos.
81’: lê-se oitenta e um minutos.
15”: lê-se quinze segundos.
45”: lê-se quarenta e cinco segundos. 

Temos que 1º (um grau) corresponde a 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) corresponde a 60” (sessenta segundos). Por exemplo, observe as transformações a seguir:

2º em minutos: 2 * 60 = 120’
12’ em segundos: 12 * 60 = 720”
3600’’ em minutos: 3600 : 60 = 60’
90000” em graus: 90000 : 60 = 1500’ e 1500 : 60 = 25º


Observação:

Tabela de conversões
Adição

Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é:


O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma outra forma. Acompanhe a demonstração:

No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 1’ + 6”. Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”.

Subtração

Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é:



Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda completando o que está menor.
Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado a 32” resultando em 92”.

Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto:


O resultado da subtração é igual a 26º 57’ 52”.

Transformações de Ângulos

de Graus para Minutos e Segundos


        Os ângulos são medidos em graus (1º) - e as subunidades dos graus são os minutos (1º = 60') e os segundos (1' = 60"). Veja como fazer a conversão entre essas unidades, tarefa que pode ser útil caso você necessite fazer operações com medidas de ângulos.



Suponha que você tenha que dividir um ângulo de 90° por 4:


Não é difícil veja:



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O ideal, no entanto, é que você apresente o resultado sem "vírgulas", mas transformando a parte decimal (0,5) em minutos e segundos. Veja:



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Para transformar 0,5° em minutos vamos usar a regra de três simples:
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Minutos e segundos
Em alguns casos, você terá uma medida com minutos e segundos:


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Transformando 0,12°:

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Você tem, então, minutos e "frações" de minutos.

Nova regra de três, agora para passar minutos para segundos:

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                         Exercícios 

1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor.





a) m (AÔB)
b) m (AÔC)
c) m (AÔD)
d) m (AÔE)
e) m (AÔF)
f) m (AÔG)

2) Escreva simbolicamente:

a) 30 graus
b) 10 graus e 25 minutos
c) 42 graus e 54 minutos
d) 15 graus, 20 minutos e 40 segundos
e) 54 graus, 38 minutos e 12 segundos

3) Responda:

a) Um grau é igual a quantos minutos?
b) Um minuto é igual a quantos segundos?
c) Um grau é igual a quantos segundos?

4) Transforme :

a) 1º em minutos
b) 2º em minutos
c) 3º em minutos
d) 4º em minutos
e) 5º em minutos
f) 1´ em segundos
g) 2´ em segundos
h) 3´ em segundos
i) 4´ em segundos
j) 5´ em segundos


5) Transforme em minutos, observando o exemplo resolvido:

resolvido = 2º 17´ = 2 x 60´ + 17´ = 137´

a) 5º 7´ =
b) 3º 20´ =
c) 10º 35´ =
d) 12º 18´ =
e) 3º 45´ =
f) 5º 54´ =
g) 7º 12´ =
h) 9º 36´ =

6) Transforme:

120´= 120 : 60 = 2º ===== resolvidos  ==== 120" = 120" : 60 = 2´

a) 180´em graus =
b) 240´em graus =
c) 300´ em graus =
d) 360´em graus  =
e) 180" em minutos =
f) 240" em minutos =
g) 300" em minutos =
h) 360" em minutos =

7) Transforme em graus e minutos:

Resolvido: 75´= 1º 15´  (obs divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto , se existir, serão os minutos.)

a) 90´ =
b) 95´=
c) 130´ =
d) 150´ =
e) 385´ =
f) 512´=
g) 867´=
h) 1000´=

8) Transforme em minutos e segundos:

a) 97" =
b) 130" =
c) 150" =
d) 162" = 
e) 185" =
f) 254" = 


9) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvido: 27° 60´ = 28°

a) 29º 60´= (R: 30°)
b) 34° 60´= (R: 35°)
c) 72° 60´= (R: 73°)
d) 99° 60´= (R: 100°)
e) 54° 60´ = (R: 55°)
f)  108° 60´= (R: 109°)

10) Escreva as medidas na forma mais simples: (FAÇAM OS CÁLCULOS)

Resolvido: 39° 75´ = 40° 15´

a) 30° 80´ = (R: 31° 20´)
b) 45° 90´= (R : 46° 30´)
c) 57° 100´= (R: 58° 40´)
d) 73° 110´= (R: 74° 50´)
e) 20° 120´= (R: 22°)
f) 25° 150´= (R: 27° 30´)
g) 42° 160´= (R: 44° 40´)
h) 78° 170´= (R: 80° 50´)


OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS


 ADIÇÃO

11) Exemplo

17° 15´ 10"  + 30° 20´40"

17° 15´ 10"
30° 20´ 40"
-----------
47° 35´ 50"

12) Exemplo

13° 40´ +  30° 45´

13° 40´
30° 45´
--------
43° 85´ (simplificando) 44° 25´


EXERCÍCIOS

13) Calcule as somas:

a) 49° + 65° = 
b) 12° 25´ + 40° 13´ = 
c) 28° 12´ + 5 2° 40´ = 
d) 58°  + 17° 19´ = 
e) 41° 58´ +  16°  = 
f) 25° 40´ + 16° 50´ =  
g) 23° 35´ + 12° 45´ = 
h) 21° 15´40" + 7° 12´5" = 
i) 35° 10´50"  +  10° 25´20"  = 
j) 31° 45´50" + 13° 20´40"  = 
l) 3° 24´9" + 37° 11´33" = 
m) 35° 35´2" + 22° 24´58" = 




SUBTRAÇÃO

 Exemplo

58° 40´ -  17° 10´ =

58° 40´
17° 10´
-------
41° 30´


2) Exemplo

80° - 42° 30´ =

80°
42° 30´
-------
37° 30´


15) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17° = (R:
b) 172° - 93° = (R:
c) 48° 50´ - 27° 10´ = ( R:
d) 42° 35´  -  13° 15´ = (R:
e) 70° - 22° 30´ = (R:
f) 30° - 18° 10´= (R:
g) 90° - 54° 20´ (R:
h) 120° - 50°45´ =(R:
i) 52°30´ - 20°50´ = (R:
j) 39° 1´ - 10°15´ =  (R:





MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS

 Exemplo

17°15´ x 2 =

17°15´
___x2
--------
34°30´

2°) Exemplo

24° 20´ x  3 =

24°20´
____3
-------
72°60´ (simplificando) 73°


16) Calcule os produtos:

a) 25°10´ x 3 = (R:
b) 44°20´ x 2 = ( R:
c) 35° 10´ x 4 = (R:
d) 16°20´ x 3 = (R:
e) 28°30´ x 2 = (R:
f) 12°40´ x 3  = (R:
g) 15°30´ x 3 = (R:
h) 14° 20´ x 5 =(R:



DIVISÃO DE UM ÂNGULO POR UM NÚMERO


1º Exemplo




2º Exemplo




EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) 48° 20´ : 4 = 
b) 45° 30´ : 3 = 
c) 75° 50´ : 5  = 
d) 55° : 2 = 
e) 90° : 4 = 
f) 22° 40´ : 5 =



 Prof. Henrique Feliciano

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