Utilização das estratégias de polya nas resoluções de problemas matemáticos como recurso didático para professores e alunos na educação básica
José Henrique Feliciano Silva
Justificativa
Na foto, George Polya
A busca por estratégias de ensino que facilitem a aprendizagem matemática e que estimulem seu estudo é a principal motivação deste trabalho. Ao longo do tempo, temos observado, em sala de aula, dificuldades no que se refere a resoluções de problemas matemáticos tanto para alunos quanto para professores. Portanto, o principal objetivo deste artigo é buscar estratégias pedagógicas alternativas, principalmente no que se refere à interpretação de problemas e do entendimento da linguagem matemática. Buscando preencher esta lacuna, será apresentada a utilização das estratégias de George Polya para tais soluções, sendo utilizada como recurso didático. Através desses passos pedagógicos, serão vistos princípios facilitadores na arte de resolver problemas matemáticos, buscando alcançar uma aprendizagem significativa.
Introdução
A caracterização de um problema matemático deve se realizar previamente à escolha de uma metodologia que trate da sua resolução. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, “[…] um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado” (BRASIL, 1998, p. 41). Essa sequência de ações, necessária para se obter o resultado de um problema, de acordo com o método apresentado pelo matemático George Polya, que será abordado neste artigo, ajudará tais compreensões no que tange a resoluções de problemas matemáticos e suas interpretações.
É importante observar que não basta ao professor propor problemas, faz-se necessário que ele proponha problemas que sejam desafiadores aos estudantes e cuja solução não esteja disponível de início, pois “[…] o que é problema para um aluno pode não ser para outro, por exemplo, em função dos conhecimentos de que dispõe” (BRASIL, 1998, p. 41). Visa-se, desta maneira, estimular a vontade e direcionar a atenção do aluno à tarefa de resolver problemas desafiadores.
Conduzir o processo de resolução usando o método de Polya — como o de descrição dos passos da resolução dos problemas, primeiro conversando, discutindo, dramatizando e, depois, fazendo anotações, com o objetivo de criar memória visual ao pensamento, até que se construa uma estrutura, uma formalização, de acordo com o nível de ensino dos estudantes — é uma forma eficaz de desenvolver o processo de resolução de problemas matemáticos escolares.
Portanto, analisaremos os passos apresentados por George Polya com o objetivo de facilitar o entendimento na arte de resolver problemas, fazendo uma ponte entre os problemas propostos e uma aprendizagem significativa, servindo tanto para o professor, que, nesse processo, vai adquirir mais recursos pedagógicos na ministração das suas aulas, como para o aluno, que receberá métodos com mais objetividade e clareza em tais resoluções de problemas matemáticos.
Conhecendo um pouco sobre George Polya e sua estratégia na resolução de problemas matemáticos
George Polya (1887–1985) foi um dos maiores educadores matemáticos de todos os tempos. Nascido na Hungria, trabalhou como professor primeiramente na Suíça e resolveu imigrar para os Estados Unidos pouco antes das ameaças da Segunda Guerra Mundial. Seu método de resolução de problemas contribuiu para a teoria de conhecimento, sendo utilizado até os dias de hoje como ferramenta importantíssima na resolução de problemas matemáticos. George Polya publicou o seu livro How to solve it (A arte de resolver problemas) no ano de 1957, expondo as suas ideias sobre a heurística (derivada da palavra grega heuristiké, heurística é a capacidade de descobrir e inventar. Assim, representa a forma como o ser humano simplifica o entendimento de questões complexas) de resolução de problemas. Foi ele o primeiro a apresentar uma heurística de resolução de problemas específica para a matemática.
Polya (1978) dividia o processo de resolução de um problema em quatro etapas:
• Ler e entender o significado principal do enunciado (compreensão do problema).
• Designar um plano (construção de uma estratégia de resolução).
• Executar o plano (execução da estratégia).
• Retrospectar o problema (revisão da solução).
É importante ressaltar que, para resolver um problema, não basta apenas possuir o conhecimento sobre alguma heurística para sua resolução, é necessário ter capacidade de resolver problemas sobre o assunto.
O procedimento mecânico de memorização deve ser
substituído por métodos criativos e de raciocínio lógico,
de tal forma que o aluno esteja motivado e pronto para desenvolver seus conhecimentos e saberes.
Vamos analisar cada etapa apresentada por Polya e descobrir, com esse grande matemático, recursos que servirão como um norte para nossas aulas e para uma aprendizagem significativa de nossos alunos. Segundo Polya (1995), existem quatro fases para resolver um problema de matemática de forma eficiente:
Compreender o problema (CP):
O que é necessário para resolvê-lo?
Quais suas variáveis e incógnitas?
Designar um plano (DP):
Esse problema é conhecido?
Como as variáveis estão correlacionadas?
Quais estratégias devemos usar para sua resolução?
Executar o plano (EP):
É possível verificar cada passo da execução?
É possível demonstrar que o plano está correto?
Retrospectar o problema (RP):
É possível verificar o resultado encontrado?
Percebe-se que esse processo de resolução de um problema de matemática proposto por Polya é um método bastante interessante, bem planejado e, se for bem executado, dará os resultados esperados.
A compreensão do problema é o ponto inicial do processo, e se faz necessário que o aprendiz interprete o enunciado do problema e tenha vontade de resolvê-lo. Em seguida, é preciso estabelecer um plano para a resolução do problema, apontando suas variáveis, suas hipóteses e seus modelos. A execução do plano só será eficaz se todo o planejamento, desde a sua compreensão até as estratégias, for realizado plenamente. Por fim, fazer uma retrospectiva do problema executado é de total valia, pois comprovará a verdade do resultado encontrado.
Exemplos de resoluções de problemas utilizando o método de Polya
O ensino de matemática na Educação Básica deve oportunizar condições para a criança gerar autonomia suficiente para estabelecer relações dos conteúdos aprendidos com os modelos de seu dia a dia.
Pontes (2018) afirma que a grande discussão no processo de ensinar e aprender matemática é saber quais indivíduos, aluno ou professor, possuem habilidades e competências para melhor abstrair os conceitos e as relações matemáticas. O procedimento mecânico de memorização deve ser substituído por métodos criativos e de raciocínio lógico, de tal forma que o aluno esteja motivado e pronto para desenvolver seus conhecimentos e saberes.
Dessa forma, apresentaremos dois problemas matemáticos seguindo as etapas do método de Polya em suas resoluções.
Problema 01: (JONOFON, 2004)
Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos o dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?
Seguindo o algoritmo de Polya, teremos:
CP: O problema consiste em determinar o número de filhos e filhas de um casal, seguindo as hipóteses apresentadas. Dessa forma, seja x o número de filhos e y o número de filhas.
DP: O plano será estabelecido seguindo as seguintes hipóteses: Se x é o número de filhos, então o número de seus irmãos será x – 1. Se y é o número de filhas, então o número de suas irmãs será y – 1. Assim, cada filho tem x – 1 irmãos e y irmãs, e cada filha tem y – 1 irmãs e x irmãos.
EP: Observa-se que, se seguirmos o plano estabelecido e nos atentarmos para o enunciado do problema, podemos formar o seguinte sistema: x = 4 e y = 3.
RP: Substituindo os resultados encontrados no modelo, verificamos que os valores são compatíveis. Logo, o casal tem um total de 7 filhos.
No problema sobre idades (Problema 01), sua resolução parte da ideia de gerar duas incógnitas (x e y) e estabelecer um sistema de equações com essas variáveis predeterminadas. O método de Polya é extremamente didático e de fácil compreensão e leva a criança aprendiz a acompanhar, passo a passo, o modelo desejado.
Problema 02: (JONOFON, 2004)
Um rato está 48 metros na frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato percorre 4 metros, o gato percorre 7 metros. Quantos metros o gato deverá percorrer para alcançar o rato?
Seguindo o método de Polya, teremos:
CP: Este é um problema de perseguição entre um gato e um rato e consiste em determinar quantos metros o gato deverá percorrer para alcançar o rato.
DP: O plano proposto será seguindo as hipóteses apresentadas:
Hipótese 1: A distância entre o gato e o rato é de 48 metros.
Hipótese 2: Enquanto o rato percorre 4 metros, o gato percorre 7 metros.
A cada 7 metros percorridos pelo gato, o rato percorre apenas 4 metros; essa vantagem do gato a cada 7 metros é de 7 m – 4 m = 3 m.
EP: Nota-se que, se seguirmos o plano estabelecido e nos atentarmos para o enunciado do problema, podemos gerar as seguintes indagações:
O gato terá que percorrer 7 metros tantas vezes quantos 3 metros existirem em 48 metros, isto é, = 16 vezes. Portanto, o gato terá que percorrer 16 vezes 7 metros, logo 16 x 7 m = 112 metros.
RP: Percebe-se que o resultado encontrado está compatível com o enunciado do problema. Logo, o gato terá que percorrer 112 metros para alcançar o rato. Esta organização sistemática para resolver este problema fica mais compreensiva e didática quando aplico o método de Polya em sua resolução, facilitando, assim, a compreensão no ensinar e no aprender matemática e suas resoluções.
Considerações finais
Diante do exposto, pode-se fazer uma reflexão geral sobre a importância da resolução de problemas, particularmente utilizando o método de Polya no processo de ensino-aprendizagem de matemática. É conveniente salientar que todos os procedimentos adotados se apresentam como uma sugestão para orientar o aluno a seguir, passo a passo, na construção de novos conhecimentos e saberes ao mesmo tempo que qualifica o professor com recursos didáticos pedagógicos na ministração e no controle do conteúdo em suas aulas.
Para Gazzoni & Ost (2008, p. 44):
Utilizando-se o método proposto por Polya, constata-se que, com mais facilidade, organizam-se as ideias e se obtém a solução do problema com uma melhor compreensão do que se não tivéssemos seguido seu método. Também é possível encontrar problemas análogos e tornar mais clara uma estratégia para sua resolução. Certamente, esse método não é uma ferramenta milagrosa, mas torna-se necessário e eficiente seu uso em um grande número de problemas, principalmente os que apresentam um maior nível de dificuldade.
O tema da resolução de problemas através do método de Polya como prática educacional no processo de ensino e aprendizagem de matemática possibilita ao professor facilitador e ao aluno aprendiz desenvolverem novas habilidades no intuito de fortalecer o pensamento crítico e o raciocínio lógico. Espera-se que outras experiências possam ser sugeridas como modelos transformadores de uma educação pautada no ser engenhoso, produtivo e pronto para enfrentar os desafios do século XXI.
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REFERÊNCIAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
FURLAN, M. MATIDA: Tempo e espaço de atenção no olhar-
-experiência de uma professora. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Porto Alegre: UFRGS, 2011. Disponível em: <http://hdl.handle.net/10183/34769>. Acesso em: 08 ago. 2015.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
BONGIOVANNI, V.; LEITE, O. R. V.; LAUREANO, J. L. T. Matemática e vida. v. 2. São Paulo: Ática, 1993.
BOYER, C. B. Tradução de Elza F. Gomide. História da matemática. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1974.
CARVALHO, F. D. P. S. & CIVARDI, J. A. (2012). Novas tecnologias, velhas atitudes, práticas antigas. In: II Congresso Internacional TIC e Educação.
D’AMBROSIO, B. S. (1989). Como ensinar matemática hoje. Temas e debates, 2(2), 15-19.
GAZZONI, A. & OST, A. (2008). A resolução de um problema: soluções alternativas e variações na formulação. VIDYA, 28(2), 10. Jesus Costa, G. C., & Freitas, A. V. (2017).
POLYA, George. Trad. Heitor Lisboa de Araújo. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
PONTES, E. A. S. (2018). A arte de ensinar e aprender matemática na Educação Básica: um sincronismo ideal entre professor e aluno. Revista Psicologia & Saberes, 7(8), 163-173.
José Henrique Feliciano Silva é licenciado e pós-graduado em Matemática pelo Centro Universitário da Vitória de Santo Antão (Univisa); professor da rede particular de ensino no distrito de Fazenda Nova – Brejo da Madre de Deus/PE; trabalha orientando artigos matemáticos na ampliação do conhecimento matemático, tendo um vasto trabalho exercendo aulas de matemática em laboratório; tem um blog voltado para o ensino da matemática e, em seu Instagram, compartilha pensamentos e dicas matemáticas.
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Instagram: @professor.henriquefeliciano
Blog: https://professorhenrique59.blogspot.com
